Народився 28 липня 1979 року в багатодітній сім’ї у с. Сопачів Рівненської області. В 1986 році сім’я переїздить на Волинь до с. Вільхівки. Батьки працювали у місцевому колгоспі, отримали житло, діти пішли до школи. Олексій до першого класу пішов у Вільхівці. З 20 березня 1993 року працював в СВК «Україна». Після закінчення дев’ятого класу у 1993 році далі здобувати освіту не пішов. Продовжив працювати на попередньому місці роботи.
У 1997 році призваний на строкову військову службу, яку проходив в Житомирі у внутрішніх військах МВС України. Під час несення служби здійснював нагляд за засудженими.
По закінченні служби, повернувся на попереднє місце роботи, де пропрацював до 10 січня 2019 року.
В липні 2010 року одружився, виховував доньку (2011 р.н.) і сина (2015 р.н.).
З 17 лютого 2021 року по 2 грудня 2022 року працював охоронником у ТзОВ «Городище» у с. Ярівка.
У квітні 2023 року Олексій Євгенович був мобілізований до Національної гвардії України. З 15 квітня 2023 року перебував на військовій службі по мобілізації у військовій частині 3029 м. Запоріжжя. З кін. листопада – поч. грудня 2023 року солдат перебував у відпустці вдома. 29 січня 2024 року Олексій Євгенович Анцибор трагічно загинув під час виконання бойового завдання у с. Новопокровка, Пологівського р-ну, Запорізької області.
Чин похорону Захисника відбувся 3 лютого 2024 року. Відспівали Героя у храмі Покрови Пресвятої Богородиці, поховали у с. Вільхівка на місцевому цвинтарі.
Анцибор Олексій Євгенович нагороджений нагрудним знаком «Ветеран війни – учасник бойових дій» (посмертно).
Автор статті Процюк Наталя
Редактор головного зображення Сафонік Інна Ігорівна начальник відділу організаційної та кадрової роботи Горохівської міської ради